Question

求证:关于x的方程ax²+bx+c=0有一根为1的充要条件是a+b+c=0.

Answer 1

证明:(1)必要性:?

∵x=1是方程ax²+bx+c=0的根,?

∴a+b+c=0.?

(2)充分性:?

∵a+b+c=0,∴c=-(a+b).?

∴ax²+bx+c=0ax²+bx-(a+b)=0??

 (x-1)(ax+a+b)=0.?

若a=0,则b≠0,∴x=1.?

若a≠0,则x=1或x=-1-,?

即方程ax²+bx+c=0有一根x=1.?

由(1)(2)知,命题成立.