Question

11．某中学有6名爱好篮球的高三男生，现在考察他们的投篮水平与打球年限的关系，每人罚篮10次，其打球年限与投中球数如下表：$\left\{\begin{array}{l}{\widehat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}•\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}}\\{\widehat{a}=\overline{y}-\widehat{b}\overline{x}}\end{array}\right.$
（Ⅰ）求投中球数y关于打球年限x（x∈N，0≤x≤16）的线性回归方程，
（Ⅱ）若第6名同学的打球年限为11年，试估计他的投中球数（精确到整数）．

学生编号	1	2	3	4	5
打球年限x/年	3	5	6	7	9
投中球数y/个	2	3	3	4	5

Answer 1

分析 （Ⅰ） 设所求的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数，写出线性回归方程；
（Ⅱ）利用回归方程计算x=11时$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（Ⅰ） 设所求的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，
则$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（3+5+6+7+9）=6，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（2+3+3+4+5）=3.4，
计算回归系数b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{（x}_{i}-\overline{x}）{（y}_{i}-\overline{y}）}{{\sum_{i=1}^{n}{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$=$\frac{10}{20}$=0.5，
a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$=0.4；
所以投中球数y关于打球年限x的线性回归方程为
$\stackrel{∧}{y}$=0.5x+0.4（其中x∈N，且0≤x≤16）；（8分）
（Ⅱ）当x=11时，$\stackrel{∧}{y}$=0.5x+0.4=0.5×11+0.4=5.9≈6，
可以估计第6名同学投中球数为6个．（12分）

点评 本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，是基础题目．