Question

如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面ABCD是正方形，CC₁=3，CD=2，且∠C₁CB=∠C₁CD=60°．
（1）设

CD

=

a

， 

CB

=

b

， 

CC1

=

c

，试用

a

，

b

，

c

表示

A1C

；
（2）O为四棱柱的中心，求CO的长；
（3）求证：A₁C⊥BD．

Answer 1

分析：（1）利用空间向量的加法，可得平行六面体的体对角线，可得

CA1

=

a

+

b

+

c

，再利用

A1C

与

CA1

互为相反向量，就可求出

A1C

．
（2）因为O为四棱柱的中心，所以O为线段A₁C的中点，所以要求CO的长，只需求出A₁C的长即可．利用（1）中所求

CA1

=

a

+

b

+

c

，再求模即可．
（3）要证A₁C⊥BD，只需证明

CA1

•

BD

=0，即可，根据

CA1

=

a

+

b

+

c

，

BD

=

a

-

b

，也即是证明(

a

+

b

+

c

)•(

a

-

b

)=0，再用已知计算即可．

解答：解：（1）由

CD

=

a

， 

CB

=

b

， 

CC1

=

c

，得

CA1

=

a

+

b

+

c

．
所以，

A1C

=-

a

-

b

-

c

．
（2）O为四棱柱的中心，即O为线段A₁C的中点．
由已知条件，得|

a

|=|

b

|=2，|

c

|=3，

a

•

b

=0，＜

a

，

c

＞=60°，＜

b

，

c

＞=60°．
根据向量加减法得

BD

=

a

-

b

，

CA1

=

a

+

b

+

c

.|

CA1

|2=

CA1

2=(

a

+

b

+

c

)2=

a

2+

b

2+

c

2+2

a

•

b

+2

b

•

c

+2

a

•

c

=2²+2²+3²+0+2×3×2×cos60°+2×3×2×cos60°=29．
∴A₁C的长为

29

．
所以CO=

29

2

．
（3）∵

CA1

•

BD

=(

a

+

b

+

c

)•(

a

-

b

)=

a

2+

a

•

c

-

b

2-

b

•

c

=2²+2×3×cos60°-2²-2×3×cos60°=0，
∴CA₁⊥BD．

点评：本题考查了用空间向量判断几何中的位置关系．注意和平面向量知识相联系．