题目内容

如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面ABCD是正方形，CC₁=3，CD=2，且∠C₁CB=∠C₁CD=60°．
（1）设 $数学公式$ ，试用 $数学公式$ 表示 $数学公式$ ；
（2）O为四棱柱的中心，求CO的长；
（3）求证：A₁C⊥BD．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ．
所以， $\text{[math]}$ ．
（2）O为四棱柱的中心，即O为线段A₁C的中点．
由已知条件，得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
根据向量加减法得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$
=2²+2²+3²+0+2×3×2×cos60°+2×3×2×cos60°=29．
∴A₁C的长为 $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ ．
（3）∵ $\text{[math]}$
=2²+2×3×cos60°-2²-2×3×cos60°=0，
∴CA₁⊥BD．
分析：（1）利用空间向量的加法，可得平行六面体的体对角线，可得 $\text{[math]}$ ，再利用 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互为相反向量，就可求出 $\text{[math]}$ ．
（2）因为O为四棱柱的中心，所以O为线段A₁C的中点，所以要求CO的长，只需求出A₁C的长即可．利用（1）中所求
$\text{[math]}$ ，再求模即可．
（3）要证A₁C⊥BD，只需证明 $\text{[math]}$ =0，即可，根据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，也即是证明 $\text{[math]}$ =0，再用已知计算即可．
点评：本题考查了用空间向量判断几何中的位置关系．注意和平面向量知识相联系．