Question

已知函数.
(Ⅰ)若时，求的值域；
(Ⅱ)若存在实数，当时，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（I）的值域为：.（II）.

解析试题分析：（I）将二次函数配方，结合抛物线的图象便可得的值域.
（II）由恒成立得：恒成立，
令，则只需的最大值小于等于0.
由此得：，令
则原题可转化为：存在，使得.这又需要时.接下来又对二次函数分情况讨论，从而求出实数的取值范围.
试题解析：（I）将二次函数配方得：  2分
该函数的图象是一条开口向上的抛物线，顶点为，.
因为，所以最大值为，
∴的值域为：              6分
（II）由恒成立得：恒成立，
令，因为抛物线的开口向上，所以，由恒成立知：                8分
化简得：  令
则原题可转化为：存在，使得  即：当，  10分
∵，的对称轴： 
 即：时，
∴解得：   
②当 即：时，
∴解得：
综上：的取值范围为：                13分
法二：也可，
化简得： 有解.
，则.
考点：1、二次函数；2、函数的最值；3、解不等式.