Question

已知函数，.
（Ⅰ）若与在处相切，试求的表达式；
（Ⅱ）若在上是减函数，求实数的取值范围；
（Ⅲ)证明不等式： .

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）（Ⅲ)见解析

解析试题分析：（Ⅰ）求导数，利用与在处相切，可求的表达式；
（Ⅱ） 在上是减函数，可得导函数小于等于 在上恒成立，分离参数，利用基本不等式，可求实数的取值范围；
（Ⅲ）当x≥2时，证明 ，当x＞1时，证明 ，利用叠加法，即可得到结论．
试题解析：（Ⅰ）由于与在处相切
且   得：          2分
又 
                       3分
（Ⅱ）在上是减函数，
在上恒成立.         5分
即在上恒成立，由，
又   得          7分
（Ⅲ)由（Ⅱ）可得：当时：在上是减函数
当时： 即
所以 从而得到：          10分
当时：
当时：
当时：
当时：，
上述不等式相加得：


即.（）    12分
考点：1、不等式的证明；2、利用导数研究函数的单调性；3、利用导数研究曲线上某点切线方程．