Question

【题目】已知函数的图像与直线相切.

（Ⅰ）求的值，并求的单调区间；

（Ⅱ）若，设，讨论函数的零点个数.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ，函数的单调减区间为，增区间为； (Ⅱ)答案见解析.

【解析】试题分析：

(Ⅰ)由题意结合导函数与原函数切线的关系得到关于实数m的方程，解方程可得m=1，则函数的单调减区间为，增区间为；

(Ⅱ)原问题转化为函数的图象的交点个数，分类讨论可得：

当时，函数无零点；

当或时，函数恰有一个零点；

当时，函数恰有两个零点.

试题解析：

(I)设的图像与直线相切于点，

，

则即

解得：

由得；得；

所以函数的单调减区间为；增区间为

(II)

；

记函数

由得；得

在上单调递增；在上单调递减

又时，；

时，；且.

则：当时， 与的图像无交点，函数无零点；

当或时， 与的图像恰有一个交点，函数恰有一个零点；

当时， 与的图像恰有两个交点，函数恰有两个零点.