Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知 BC=1，BB₁=2，∠BAC=30°，∠BCC₁=90°，AB⊥侧面BB₁C₁C，则直线C₁B与侧面ACC₁A₁所成角的正弦值为

15

10

．

Answer 1

分析：以BA为x轴，以BC为y轴，以BB₁为z轴，建立空间直角坐标系，由BC=1，BB₁=2，∠BAC=30°，∠BCC₁=90°，AB⊥侧面BB₁C₁C，知

AC1

=(-

3

，1，2)，

AC

=(-

3

，1，0)，

C1B

=(0，-1，-2)，设面ACC₁A₁的法向量

n

=(x，y，z)，则

- 3 x+y+2z=0 - 3 x+y=0

，所以

n

=(

3

，3，0)，由此利用向量法能求出直线C₁B与侧面ACC₁A₁所成角的正弦值．

解答：解：以BA为x轴，以BC为y轴，以BB₁为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵BC=1，BB₁=2，∠BAC=30°，∠BCC₁=90°，AB⊥侧面BB₁C₁C，
∴A（

3

，0，0），B（0，0，0），C（0，1，0），C₁（0，1，2），
∴

AC1

=(-

3

，1，2)，

AC

=(-

3

，1，0)，

C1B

=(0，-1，-2)，
设面ACC₁A₁的法向量

n

=(x，y，z)，
则

- 3 x+y+2z=0 - 3 x+y=0

，
∴

n

=(

3

，3，0)，
设直线C₁B与侧面ACC₁A₁所成角为θ，
sinθ=|cos＜

C1B

，θ＞|=|

0-3+0

12 • 5

|=

15

10

．
故答案为：

15

10

．

点评：本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，恰当地建立空间直角坐标系，注意向量法的合理运用．