Question

已知正项数列{a_n}的前项和为S_n，且满足．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）设；
（Ⅲ）设，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由2=a_n+1，知，故2（a_n+1+a_n）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），所以（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，由此能够证明数列{a_n}是首项为a₁=1，公差d=2的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，由=，知T_n=b₁+b₂+…+b_n=，再由错位相减法能够求出．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：=，故==，由此能够证明．
解答：（Ⅰ）证明：∵2=a_n+1，
∴，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=-
=，
即：2（a_n+1+a_n）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n+1+a_n＞0，∴a_n+1-a_n-2=0，
∴a_n+1-a_n=2，
当n=1时，S₁=，即a₁=，
∴，解得a₁=1．
∴数列{a_n}是首项为a₁=1，公差d=2的等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，
∵=，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=，①
=，②
①-②得：
=
=，
∴．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）得：=，
∴
==，
∴c₁+c₂+c₃+…+c_n=
=，
故．
点评：本题考查数列与不等式的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．