Question

已知数列{a_n}：a₁=1，a₂=2，a₃=r，a_n+3=a_n+2（n是正整数），与数列{b_n}：b₁=1，b₂=0，b₃=-1，b₄=0，b_n+4=b_n（n是正整数）。
记，
（1）若a₁+a₂+a₃+…+a₁₂=64，求r的值；
（2）求证：当n是正整数时，T_12n=-4n；
（3）已知r＞0，且存在正整数m，使得在T_12m+1，T_12m+2，…，T_12m+12中有4项为100，求r的值，并指出哪4项为100。

Answer 1

解：（1）
，
∵48+4r=64，
∴r=4；
（2）用数学归纳法证明：当；
①当n=1时，，等式成立；
②假设n=k时等式成立，即，
那么当n=k+1时，


，
等式也成立；
根据①和②可以断定：当。
（3），

当；
∵4m+1是奇数，-4m+1-r，-4m-r，-4m-4均为负数，
∴这些项均不可能取到100，
此时，为100。