Question

13．如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体．求证：
（1）D${\;}_{{1}_{\;}}$B⊥AC；
（2）BC₁⊥平面A₁B₁CD．

Answer 1

分析 （1）由DD₁⊥面AC，知DD₁⊥AC，由DD₁⊥BD，能够证明AC⊥平面BDD₁B₁．
（2）由四边形BCC₁B₁是正方形可证，BC₁⊥B₁C，然后可证A₁B₁⊥BC₁，根据线面垂直的平判定定理可证．

解答 证明：（1）∵DD₁⊥面AC，AC?平面AC，∴DD₁⊥AC，
∵AC⊥BD，DD₁∩BD=D，BD?平面BDD₁B₁，DD₁?平面BDD₁B₁
∴AC⊥平面BDD₁B₁．
∵D₁B?平面BDD₁B₁，
∴D${\;}_{{1}_{\;}}$B⊥AC；
（2）由题意四边形BCC₁B₁是正方形，∴BC₁⊥B₁C．
∵A₁B₁⊥B₁C₁，A₁B₁⊥B₁B，B₁C₁∩B₁B=B₁，
∴A₁B₁⊥平面BCC₁B₁，BC₁?平面BCC₁B₁，∴A₁B₁⊥BC₁．
又∵B₁C∩A₁B₁=B₁，B₁C?平面A₁B₁CD，A₁B₁?平面A₁B₁CD，∴BC₁⊥平面A₁B₁CD．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，解题的关键是掌握线面垂直的判定方法，属于中档题．