题目内容

设数列a1=f（a），an+1=f（an）（n∈N*），f（x）=2x（1-x），0＜a＜1．则下列不等式成立的是（　　）
A、an≤an+1＜0B、0＜an≤an+1C、an+1≤an＜0D、0＜an+1≤an
分析：利用二次函数性质得出x∈（0，1）时，f（x）=2x（1-x）∈（0，
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]，确定a1=f（a）∈（0，
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]，再利用f（x）=2x（1-x）∈（0，
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]，x∈（0，
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]，得出an＞0．对于an与an+1大小比较，相当于自变量与函数值大小比较，可以考察函数h（x）=x-f（x）=-x+2x2在x∈（0，
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]上的正负情形判断．
解答：解：对于f（x）=2x（1-x），在x∈（0，1）时，f（x）∈（0，
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]，
又∵0＜a＜1，∴a1=f（a）∈（0，
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]，
又f（x）=2x（1-x）∈（0，
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]，x∈（0，
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]，
∴a2=f（a1）∈（0，
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]，依此类推，an+1=f（an）∈（0，
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]，
∴an＞0．
由于函数h（x）=x-f（x）=-x+2x2≤0，x∈（0，
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]，
∴x≤f（x），x∈（0，
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]，
而an=∈（0，
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]，
∴an≤f（an）
即an≤an+1．
故选：B．
点评：本题考查二次函数性质的应用，考察构造，推理，计算能力．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=x3，g （x）=x+
x
．
（Ⅰ）求函数h （x）=f（x）-g （x）的零点个数．并说明理由；
（Ⅱ）设数列{ an}（n∈N*）满足a1=a（a＞0），f（an+1）=g（an），证明：存在常数M，使得对于任意的n∈N*，都有an≤M．
设函数f（x）=x2+1，g（x）=x，数列{an}满足条件：对于n∈N*，an＞0，且a1=1并有关系式：f（an+1）-f（an）=g（an+1），又设数列{bn}满足bn=
log
a
an+1
（a＞0且a≠1，n∈N*）．
（1）求证数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）试问数列{
1
bn
}是否为等差数列，如果是，请写出公差，如果不是，说明理由；
（3）若a=2，记cn=
1
(an+1)-bn
，n∈N*，设数列{cn}的前n项和为Tn，数列{
1
bn
}的前n项和为Rn，若对任意的n∈N*，不等式λnTn+
2Rn
an+1
＜2(λn+
3
an+1
)恒成立，试求实数λ的取值范围．
（2007•闸北区一模）已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a1，b1]时f（x）的值域为[a2，b2]，当x∈[a2，b2]时f（x）的值域为[a3，b3]，…依此类推，一般地，当x∈[an-1，bn-1]时f（x）的值域为[an，bn]，其中a、b为常数且a1=0，b1=1
（1）若a=1，求数列{an}，{bn}的通项公式．
（2）若a＞0且a≠1，要使数列{bn}是公比不为1的等比数列，求b的值．
（3）若a＜0，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，求（T1+T2+…+T2000）-（S1+S2+…+S2000）的值．
设函数f（x）=x2+ax+b，点（a，b）为函数y=
5-2x
x-2
的对称中心，设数列{an}，{bn}满足4an+1=f(an)+2an+2(n∈N*)，a1=6，且bn=
1
an+4
，{bn}的前n项和为Sn．
（1）求a，b的值；
（2）求证：Sn＜
1
6
；
（3）求证：an+2＞22n-1+2．

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