Question

已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，

2

2

），
（1）求函数y=f（x）的解析式，并用描点法画出函数f（x）的图象
（2）用定义证明函数的单调性．

Answer 1

分析：（1）根据幂函数的特点，设所求的幂函数解析式是y=x^α．再将点（2，

2

2

），的坐标值代入解析式，求得α的值．即可求得幂函数的具体解析式，再列表描点画图，首先列表，再根据表中的x、y对应坐标值，描点，画出函数的图象．
（2）先求出函数的定义域再作出判断，然后再用定义法证明，可任取0＜x₁＜x₂，用定义证明．

解答：解：（1）由于幂函数y=f（x）的图象过点（2，

2

2

），
设所求的幂函数解析式是y=x^α．由于所求图象过点（2，

2

2

），
可得2α=

2

2

．
解得α=-

1

2

，所以函数y=f（x）的解析式f（x）=

1

x

，（x＞0）．
列表：

x	…	1 16	1 4	1	4	9	…
y	…	4	2	1	1 2	1 3	…

（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），函数在定义域上是减函数，证明如下：
任取0＜x₁＜x₂，则
f(x1)-f(x2)=

1

x1?

-

1

x2?

=

x2? - x1?

x1? × x2?

=

x2-x1

( x2? + x1? ) x1? × x2?

∵0＜x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，

x1

＞0，

x2

＞0，

x1

+

x2

＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞），上是单调减函数．

点评：本题考查幂函数的性质、函数单调性的判断与证明，本注意作题的格式先判断后证明，用定义法证明时要注意证明的格式．