题目内容
（2012•安徽模拟）已知数列{an}满足2n-1a1+2n-2a2+2n-3a3+…+an=n•2n，记所有可能的乘积aiaj（1≤i≤j≤n）的和为Tn．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Tn的表达式；
（3）求证：
＜
+
+
+…+
＜
．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Tn的表达式；
（3）求证：
| n-1 |
| 4 |
| T1 |
| T2 |
| T2 |
| T3 |
| T3 |
| T4 |
| Tn |
| Tn+1 |
| n |
| 4 |
分析：（1）由数列{an}满足2n-1a1+2n-2a2+2n-3a3+…+an=n•2n，知
+
+
+…+
=n，由迭代法能求出an=2n．
（2）由aiaj（1≤i≤j≤n）的和为Tn，知Tn=a1a1+（a1a2+a2a2）+（a1a3+a2a3+a3a3）+…+（a1an+a2an+a3an+…+anan）=（23-22）+（25-23）+…+（22n+1-2n+1），由此能求出Tn的表达式．
（3）由
=
=
＜
，知
+
+
+…+
＜
+
+
+…+
=
，由
=
=
-
•
＞
-
•
=
-
，知
+
+
+…+
＞（
-
）+（
-
）+…+（
-
）=
-(
-
)＞
，由此能够证明
＜
+
+
+…+
＜
．
| a1 |
| 2 |
| a2 |
| 22 |
| a3 |
| 23 |
| an |
| 2n |
（2）由aiaj（1≤i≤j≤n）的和为Tn，知Tn=a1a1+（a1a2+a2a2）+（a1a3+a2a3+a3a3）+…+（a1an+a2an+a3an+…+anan）=（23-22）+（25-23）+…+（22n+1-2n+1），由此能求出Tn的表达式．
（3）由
| Tn |
| Tn+1 |
| ||
|
| 2n-1 |
| 4(2n-1)+3 |
| 1 |
| 4 |
| T1 |
| T2 |
| T2 |
| T3 |
| T3 |
| T4 |
| Tn |
| Tn+1 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| n |
| 4 |
| Tn |
| Tn+1 |
| 2n-1 |
| 2n+2-1 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 3•2n+2n-1 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 3•2n |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 n+2 |
| T1 |
| T2 |
| T2 |
| T3 |
| T3 |
| T4 |
| Tn |
| Tn+1 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 n+2 |
| n |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 n+2 |
| n-1 |
| 4 |
| n-1 |
| 4 |
| T1 |
| T2 |
| T2 |
| T3 |
| T3 |
| T4 |
| Tn |
| Tn+1 |
| n |
| 4 |
解答：解：（1）∵数列{an}满足2n-1a1+2n-2a2+2n-3a3+…+an=n•2n，
∴
+
+
+…+
=n，
当n=1时，a1=2．
当n≥2时，
+
+
+…+
=n，
+
+
+…+
=n-1，
两式相减，得
=1，
∴an=2n．
（2）∵aiaj（1≤i≤j≤n）的和为Tn，
∴Tn=a1a1+（a1a2+a2a2）+（a1a3+a2a3+a3a3）+…+（a1an+a2an+a3an+…+anan）
=（23-22）+（25-23）+（27-24）+…+（22n+1-2n+1）
=
-（2n+2-4）
=
(2n+1-1)(2n-1)．
（3）∵
=
=
=
＜
，
∴
+
+
+…+
＜
+
+
+…+
=
，
∵
=
=
-
•
=
-
•
＞
-
•
=
-
，
∴
+
+
+…+
＞（
-
）+（
-
）+…+（
-
）
=
-(
+
+… +
)
=
-(
-
)＞
，
∴
＜
+
+
+…+
＜
．
∴
| a1 |
| 2 |
| a2 |
| 22 |
| a3 |
| 23 |
| an |
| 2n |
当n=1时，a1=2．
当n≥2时，
| a1 |
| 2 |
| a2 |
| 22 |
| a3 |
| 23 |
| an |
| 2n |
| a1 |
| 2 |
| a2 |
| 2 2 |
| a3 |
| 23 |
| an-1 |
| 2n-1 |
两式相减，得
| an |
| 2n |
∴an=2n．
（2）∵aiaj（1≤i≤j≤n）的和为Tn，
∴Tn=a1a1+（a1a2+a2a2）+（a1a3+a2a3+a3a3）+…+（a1an+a2an+a3an+…+anan）
=（23-22）+（25-23）+（27-24）+…+（22n+1-2n+1）
=
| 23-22n+3 |
| 1-4 |
=
| 4 |
| 3 |
（3）∵
| Tn |
| Tn+1 |
| ||
|
=
| 2n-1 |
| 2n+2-1 |
=
| 2n-1 |
| 4(2n-1)+3 |
| 1 |
| 4 |
∴
| T1 |
| T2 |
| T2 |
| T3 |
| T3 |
| T4 |
| Tn |
| Tn+1 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| n |
| 4 |
∵
| Tn |
| Tn+1 |
| 2n-1 |
| 2n+2-1 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2n+2-1 |
=
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 3•2n+2n-1 |
＞
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 3•2n |
=
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 n+2 |
∴
| T1 |
| T2 |
| T2 |
| T3 |
| T3 |
| T4 |
| Tn |
| Tn+1 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 n+2 |
=
| n |
| 4 |
| 1 |
| 2 3 |
| 1 |
| 2 4 |
| 1 |
| 2 n+2 |
=
| n |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 n+2 |
| n-1 |
| 4 |
∴
| n-1 |
| 4 |
| T1 |
| T2 |
| T2 |
| T3 |
| T3 |
| T4 |
| Tn |
| Tn+1 |
| n |
| 4 |
点评：本题考查数列通项公式的求法和不等式的证明，考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．
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