Question

已知函数f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的最小值为-2，求a的值．

Answer 1

分析：（1）根据对数函数的定义可得函数f（x）的定义域即为不等式

1-x＞0 x+3＞0

的解集．
（2）根据对数的运算法则可得f（x）=log_a[-（x+1）²+4]在结合其定义域求出真数-（x+1）²+4的范围再根据对数函数的单调性和函数f（x）的最小值为-2即可求出a的值．

解答：解：（1）∵

1-x＞0 x+3＞0

∴-3＜x＜1
∴函数f（x）的定义域为{x|-3＜x＜1}．
（2）∵f（x）=log_a[（1-x）（x+3）]=log_a[-（x+1）²+4]且函数f（x）的定义域为{x|-3＜x＜1}
∴0＜-（x+1）²+4≤4
又∵f（x）有最小值-2
∴0＜a＜1且f（x）≥log_a4=-2
∴a^-2=4
∴a=

1

2

．

点评：本题主要考查对数函数的定义域和值域．解题的关键是第一问要注意对数函数要求真数大于0而第二问可在第一问的基础上求出-（x+1）²+4的取值范围再结合f（x）有最小值-2得出0＜a＜1！