Question

【题目】已知函数， .

（Ⅰ）若,求在点处的切线方程；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）若存在两个极值点，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析（3）

【解析】试题分析：（Ⅰ）求 ，代入切线方程 ；（Ⅱ）求函数的导数 ，分，和 讨论，在 时再分和 两种情况讨论函数的单调性；（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结果计算 ，设 ，转化为在的最小值，利用导数求函数在区间的最小值.

试题解析：解:（Ⅰ）时,

所以 ,

所以在点处的切线方程为

（Ⅱ）

的的对称轴为

当即时,方程无解,

在恒成立,所以在单增

当即时,方程有相等的实数解,

在恒成立,所以在单增

当即时,方程有解,

解得

当时, ,解不等式

所以在单增,在单减

当时, ,解不等式

所以在单增,在单减 ,在和单增,

综上所得:，单调递减，单调递增；

，单调递增，单调递减，

单调递增；，单调递增

(Ⅲ)由(Ⅰ)可知当时函数有两个极值点,且为方程

的两个根, ,

令,则问题转化为在的最值.

又∵且

,

所以在,所以当时最小

∴