Question

已知f（x）=ax⁵-bx³+c（a＞0）在x=±1处有极值，且极大值为4，极小值为0，试确定a、b、c的值．

Answer 1

分析：先求函数的导数，根据题意f′（x）=0应有根x=±1，可得一个关系式，再借助两个极值建立两个等量关系，解三元一次方程组即可．

解答：解：已知f（x）=ax⁵-bx³+c，
所以f′（x）=5ax⁴-3bx²=x²（5ax²-3b）．
根据题意f′（x）=0应有根x=±1，
故5a=3b．
所以f′（x）=5ax²（x²-1）．
因a＞0时，列表：

由上表可见

4=f(-1)=-a+b+c① 0=f(1)=a-b+c．②

①+②得c=2，
①-②得b=a+2．
又5a=3b，所以a=3，b=5，c=2．

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，通过极值求解系数，属于中档题．