Question

y=x+4+

9-x2

的值域为

[1，3

2

+4]

．

Answer 1

分析：考查换元法：令x=3sint（t∈（-

π

2

，

π

2

）），则将函数y=x+4+

9-x2

整理后，利于三角函数在闭区间上的最值得到值域．

解答：解：令x=3cost （t∈（0，π））
则函数y=x+4+

9-x2

=3cost+4+3sint=3

2

sin(t+

π

4

)+4
由于t∈（0，π），则t+

π

4

∈(

π

4

，

5π

4

)，则sin(t+

π

4

)∈[-

2

2

，1]
故3

2

sin(t+

π

4

)+4∈[1，3

2

+4]，即y=x+4+

9-x2

的值域为[1，3

2

+4]．
故答案为[1，3

2

+4]

点评：本题考查了用换元法求函数值域以及三角恒等变换的问题，考生要重点掌握．