Question

（2013•唐山二模）如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CC₁=2，∠ABC=90°，D是AC的中点．
（Ⅰ）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）求几何体BDA₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析：（I）连接B₁C，交BC₁于点P，连接PD．由平行四边形的性质，得到PD是△AB₁C的中位线，得PD∥B₁A，结合线面平行的判定定理，证出AB₁∥平面BC₁D；
（II）根据题中数据，算出直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V₁=S_△ABC×CC₁=4．由三棱锥C₁-BDC与三棱锥A₁-BDA的底面积相等，且高也相等可得它们的体积都等于

1

2

×

1

3

×V₁=

2

3

．最后用直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积，减去三棱锥C₁-BDC与三棱锥A₁-BDA的体积之和，即可得到几何体BDA₁B₁C₁的体积．

解答：解：（Ⅰ）连接B₁C，交BC₁于点P，连接PD．
∵BB₁C₁C是平行四边形，∴B₁C与BC₁互相平分，可得P为为B₁C的中点
∵D为AC的中点，∴PD是△AB₁C的中位线，得PD∥B₁A，
又∵PD?平面B₁CD，B₁A?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D．…（6分）
（Ⅱ）∵△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2
∴△ABC的面积为S_△ABC=

1

2

×2×2=2
由此可得：直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V₁=S_△ABC×CC₁=2×2=4．
∵三棱锥C₁-BDC与三棱锥A₁-BDA的底面积相等，且高也相等
∴三棱锥C₁-BDC的体积V₂与三棱锥A₁-BDA的体积V₃相等，
可得V₂=V₃=

1

3

×

1

2

V₁=

2

3

．
因此，几何体BDA₁B₁C₁的体积V=V₁-V₂-V₃=4--

2

3

-

2

3

=

8

3

．…（12分）

点评：本题在直三棱柱中求证线面平行并求特殊多面体的体积，着重考查了线面平行的判定定理和柱体、锥体体积的计算等知识，属于中档题．