Question

【题目】已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面且 是的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）求与夹角的余弦值；

（3）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

建立空间直角坐标系，求出的坐标，

(1)通过证明，利用，即可证明结论成立；

(2)求出与的方向向量，由，即可求出结果；

(3)在上取一点，则存在，使,求出，再说明为所求二面角的平面角，利用向量夹角公式即可求出结果.

以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，

则

(1)证明：因为

所以，所以.

由题设知，且，

所以平面.

又平面，所以平面平面.

(2)因为，，

所以

故与夹角的余弦值为.

(3)在上取一点，则存在，使，又

所以，

要使，只需，即，解得，可知当时，N点的坐标为，能使，此时，有，

由得，

所以为所求二面角的平面角．

所以，

所以二面角的平面角的余弦值为.