Question

在平面直角坐标系中，已知点，过点作抛物线的切线，其切点分别为、（其中）．

（Ⅰ）求与的值；

（Ⅱ）若以点为圆心的圆与直线相切，求圆的面积；

（Ⅲ）过原点作圆的两条互相垂直的弦，求四边形面积的最大值.

Answer 1

解：（Ⅰ）由可得，．……1分

∵直线与曲线相切，且过点，∴，即，

∴，或，　　 ……3分

同理可得：，或　　 ……4分

∵，∴，． 　……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，,，则直线的斜率，……6分

∴直线的方程为：，又，

∴，即．　　　　　　 ……7分

∵点到直线的距离即为圆的半径，即，　 ……8分

故圆的面积为．……9分

（Ⅲ）四边形的面积为

不妨设圆心到直线的距离为，垂足为；圆心到直线的距离为，垂足为；则　 ……10分

由于四边形为矩形.且 ……11分

所以，由基本不等式可得

，

当且仅当时等号成立.　　 ……15分