Question

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁内（含正方体表面）任取一点M，则四棱锥M-ABCD的体积小于2的概率是

3

4

．

Answer 1

分析：算出当四棱锥M-ABCD的体积等于2时，点M到平面ABCD的距离等于

3

2

，可得当M到平面ABCD的距离小于

3

2

时，四棱锥M-ABCD的体积小于2．由此利用长方体、正方体的体积公式和几何概型公式加以计算，可得所求概率．

解答：解：∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
∴正方体的体积V=2×2×2=8．
当四棱锥M-ABCD的体积等于2时，设它的高为h，
则

1

3

×22×h=2，解之得h=

3

2

若点M在到平面ABCD的距离等于

3

2

的截面以下时，四棱锥M-ABCD的体积小于2，
求得使得四棱锥M-ABCD的体积小于2的长方体的体积V'=2×2×

3

2

=6
∴四棱锥M-ABCD的体积小于2的概率P=

V′

V

=

6

8

=

3

4

．
故答案为：

3

4

点评：本题给出正方体的棱长，求四棱锥的体积小于2的概率．着重考查了空间几何体的体积计算和几何概型计算公式等知识，属于中档题．