Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R），且函数f（x）的图象关于原点
对称，其图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在区间[m，n]，使得函数g（x）的定义域和值域均为[m，n]，且其解析式为f（x）的解析式？若存在，求出这样一个区间[m，n]；若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意，f（-x）+f（x）=0恒成立，利用比较系数法可得b=d=0，然后根据导数的几何意义，得出f'（3）=8且f（3）=6，联解方程组可得a、c的值，最终可得f（x）的解析式；
（2）用直线y=x与函数y=f（x）联解，得出交点横坐标为0或±

6

，根据题意得出[m，n]可能的区间为[-

6

，0] 或[0，

6

] 或[-  

6

 ，

6

]．然后利用导数来研究函数f（x）的单调性，得出其单调区间后，分别讨论它在各区间上的值域，对照题意可得符合条件的区间为[-

6

，

6

]．

解答：解：（1）∵f（x）的图象关于原点对称，
∴f（-x）+f（x）=0恒成立，
即2bx²+2d=0，∴b=d=0
又f（x）的图象在x=3处的切线方程为8x-y-18=0，
即y-6=8（x-3），…（2分）
∴f'（3）=8，且f（3）=6．而f（x）=ax³+cx，
∴f'（x）=3ax²+c…（3分）
∴

f′(3)=27a+c=8 f(3)=27a+3c=6

解得

a= 1 3 c=-1

．
故所求的解析式为f(x)=

1

3

x3-x．…（6分）
（2）解

y= 1 3 x3-x y=x

得x=0或x=±

6

又f'（x）=x²-1，由f'（x）=0得x=±1，
且当x=[-

6

，-1)或x=(1，

6

]时，f'（x）＞0；…（8分）
当x∈（-1，1）时f'（x）＜0．
∴f(x)在[-

6

，-1]和[1，

6

]递增；在[-1，1]上递减…（9分）
∴f(x)在[-

6

，

6

]上的极大值和极小值分别为f(-1)=

2

3

f(1)=-

2

3

．
而-

6

＜-

2

3

＜

2

3

＜

6

．
故存在这样的区间[m，n]，其中一个区间为[-

6

，

6

]．…（12分）

点评：本题考查了函数在某点取得极值的条件、利用导数求闭区间上函数的最值和导数的几何意义等知识点，属于中档题．