Question

（理科）已知数列{a_n}为等差数列，a₃=3，a₇=7，数列{b_n}为等比数列，q=a（a≠0），a6=a6．
（1）求数列的{a_n}、{b_n}通项公式；
（2）已知数列c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项的和．

Answer 1

分析：（1）直接利用a₃=3，a₇=7，列出关于首项和公差的等式，求出首项和公差即可求{a_n}的通项公式；数列{b_n}是公比为a的等比数列，再求出首项即可求{b_n}的通项公式；
（2）先整理出{c_n}的通项公式，因为是一等差数列乘一等比数列组成的新数列，所以直接利用错位相减法求和即可；

解答：解：（1）∵{a_n}是等差数列，且a₃=3，a₇=7，设公差为d，
∴

a1+2d=3 a1+6d=7

，解得

a1=1 d=1

，
∴a_n=1+（n-1）•1=n（n∈N*）；
在{b_n}中，q=a（a≠0），b₆=b₁•q⁵=b₁•a⁵=a⁶，
∴b₁=a．
∴{b_n}是首项为a公比为a的等比数列，
∴b_n=aⁿ（n∈N*）．
（2）∵c_n=a_n•b_n=n•aⁿ，设数列{c_n}的前n项的和为s_n，
则s_n=1•a+2•a²+3•a³+…+n•aⁿ，①
∴as_n=1•a²+2•a³+…+（n-1）•aⁿ+n•aⁿ⁺¹②
①-②得：（1-a）s_n=a+a²+a³+…+aⁿ-n•aⁿ⁺¹
当a=1时，b_n=1，s_n=1+2+3+…+n=

(1+n)n

2

；
当a≠1时，s_n=

a-an+1

(1-a)2

-

n•an+1

1-a

．

点评：本题考查数列的求和，第二问考查了数列求和的错位相减法．错位相减法适用于通项为一等差数列乘一等比数列组成的新数列，属于难题．