Question

已知不等式ax²＋bx＋c＞0的解集为(α，β)，且0＜α＜β，试用α、β表示不等式cx²＋bx＋a＜0的解集．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：由已知不等式的解集知a＜0． 　　又α、β是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由韦达定理得 　　∵a＜0，∴由②得c＜0，则cx2＋bx＋a＜0，可化为x2＋x＋＞0．　　③ 　　由①②得＝＝－(＋)；由②得＝＝· 　　故③可化为x2－(＋)x＋·＞0，即(x－)(x－)＞0． 　　又∵0＜α＜β，∴0＜＜． 　　∴不等式x2＋x＋＞0的解为x＜或x＞，即不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为{x|x＜，或x＞}． 　　解法二：由＝－(＋)，＝知、是方程x2＋x＋＝0的两根．又∵0＜α＜β，∴0＜＜． 　　∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为{x|x＜，或x＞}． 　　分析：不等式ax2＋bx＋c＞0的解集已给出，因此对应的二次方程ax2＋bx＋c＝0的根也就给出．而所求的二次不等式对应的二次方程的系数与已知二次不等式对应的二次方程的系数有相同的构成，因此可通过韦达定理来寻求它们之间的关系，本题可以由此找到突破口．