Question

2．已知二次函数f（x）=px²+qx．满足f（x-1）=f（x）+x-1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）＜0时．X的取值集合；
（3）设a为常数，F（x）=|f（x）|-a，试讨论方程F（x）=0的解的个数．

Answer 1

分析 （1）根据f（x-1）=f（x）+x-1，结合多项式相等的充要条件，求出p，q的值，可得f（x）的解析式；
（2）根据二次函数的图象和性质，求出满足f（x）＜0的x的取值范围，可得答案；
（3）程F（x）=0的解的个数，即函数y=|f（x）|与直线y=a的交点的个数，画出函数y=|f（x）|的图象，数形结合，可得答案．

解答 解：（1）∵二次函数f（x）=px²+qx．满足f（x-1）=f（x）+x-1，
∴p（x-1）²+q（x-1）=px²+qx+x-1，
∴（2p+1）x+q-p-1=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}2p+1=0\\ q-p-1=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}q=\frac{1}{2}\\ p=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
∴f（x）=$-\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x；
（2）解f（x）=$-\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x＜0得：
x∈（-∞，0）∪（1，+∞），
（3）方程F（x）=0的解的个数，即函数y=|f（x）|与直线y=a的交点的个数，
函数y=|f（x）|的图象如下图所示：

由图可得：
当a＜0时，函数y=|f（x）|的图象与直线y=a无交点，此时方程F（x）=0无解；
当a=0，或a$＞\frac{1}{8}$时，函数y=|f（x）|的图象与直线y=a有两个交点，此时方程F（x）=0有两个解；
当a=$\frac{1}{8}$时，函数y=|f（x）|的图象与直线y=a有三个交点，此时方程F（x）=0有三个解；
当0＜a＜$\frac{1}{8}$时，函数y=|f（x）|的图象与直线y=a有四个交点，此时方程F（x）=0有四个解；

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．