Question

已知函数f（x）=x²-4，设曲线y=f（x）在点（x_n，f（x_n））处的切线与x轴的交点为（x_n+1，0）（n∈N*），其中x₁为正实数．
（Ⅰ）用x_n表示x_n+1；
（Ⅱ）证明：对一切正整数n，x_n+1≤x_n的充要条件是x₁≥2
（Ⅲ）若x₁=4，记an=lg

xn+2

xn-2

，证明数列{a_n}成等比数列，并求数列{x_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）=x²-4进行求导，进而可得到过曲线上点（x₀，f（x₀））的切线方程，然后令y=0得到关系式x_n²+4=2x_nx_n+1，整理即可得到答案．

（2）先由x_n+1≤x_n得到x₂≤x₁，再结合（1）中的结果可得到

x1

2

+

2

x1

≤x1，最后根据x₁＞0可得到必要性的证明；
由xn+1=

xn

2

+

2

xn

用数学归纳法可证明x_n+1≤x_n对一切正整数n成立．

（3）先由xn+1=

xn

2

+

2

xn

得到xn+1+2=

(xn+2)2

2xn

和xn+1-2=

(xn-2)2

2xn

，然后两式相除可得到

xn+1+2

xn+1-2

=(

xn+2

xn-2

)2后再两边取对数，求得a_n+1=2a_n，进而可知数列{a_n}成等比数列，根据等比数列的通项公式求得a_n，代入an=lg

xn+2

xn-2

即可求得数列{x_n}的通项公式．

解答：解：（Ⅰ）由题可得f′（x）=2x
所以过曲线上点（x₀，f（x₀））的切线方程为y-f（x_n）=f′（x_n）（x-x_n），
即y-（x_n-4）=2x_n（x-x_n）
令y=0，得-（x_n²-4）=2x_n（x_n+1-x_n），即x_n²+4=2x_nx_n+1
显然x_n≠0∴xn+1=

xn

2

+

2

xn

（Ⅱ）证明：（必要性）
若对一切正整数n，x_n+1≤x_n，则x₂≤x₁，即

x1

2

+

2

x1

≤x1，而x₁＞0，∴x₁²≥4，即有x₁≥2
（充分性）若x₁≥2＞0，由xn+1=

xn

2

+

2

xn

用数学归纳法易得x_n＞0，从而xn+1=

xn

2

+

2

xn

≥2

xn 2 • 2 xn

=2(n≥1)，即x_n≥2（n≥2）
又x₁≥2∴x_n≥2（n≥2）
于是xn+1-xn=

xn

2

+

2

xn

-xn=

4-xn2

2xn

=

(2-xn)(2+xn)

2xn

≤0，
即x_n+1≤x_n对一切正整数n成立

（Ⅲ）由xn+1=

xn

2

+

2

xn

，知xn+1+2=

(xn+2)2

2xn

，同理，xn+1-2=

(xn-2)2

2xn

故

xn+1+2

xn+1-2

=(

xn+2

xn-2

)2
从而lg

xn+1+2

xn+1-2

=2lg

xn+2

xn-2

，即a_n+1=2a_n
所以，数列{a_n}成等比数列，故an=2n-1a1=2n-1lg

x1+2

x1-2

=2n-1lg3，
即lg

xn+2

xn-2

=2n-1lg3，从而

xn+2

xn-2

=32n-1
所以xn=

2(32n-1+1)

32n-1-1

．

点评：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力．