Question

已知⊙C：（x-1）²+（y-2）²=4及经过点P（3，-1）的直线l．
（1）当l平分⊙C时，求直线l的方程；
（2）当l与⊙C相切时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由圆C的方程找出圆心C的坐标和半径r，由直线l平分圆C，得到直线l过圆心，故由P和C的坐标确定出直线l的方程即可；
（2）当直线l的斜率不存在时，显然x=3满足题意；当直线l的斜率存在时，设斜率为k，由直线l过P，写出直线l的点斜式方程，由直线l与圆C相切，得到圆心到切线的距离等于圆的半径，故利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，进而确定出此时直线l的方程，综上，得到所有满足题意的直线l的方程．

解答：解：（1）∵⊙C：（x-1）²+（y-2）²=4，
∴圆心C的坐标为（1，2），半径r=2，
当l平分⊙C时，必有直线l过圆心（1，2），又直线l过P（3，-1），
则直线l的方程为y-2=-

3

2

(x-1)，即3x+2y+7=0；…（5分）
（2）当直线l的斜率不存在时，
其方程为x=3，经检验，符合题意；…（8分）
当直线l的斜率k存在时，
设直线l的方程为y+1=k（x-3），即kx-y-3k-1=0，
∵直线l与圆C相切，
∴圆心（1，2）到直线kx-y-3k-1=0的距离为圆的半径2，
即

|-2k-3|

1+k2

=2，解得：k=-

5

12

，
此时直线l的方程为y+1=-

5

12

（x-3），即5x+12y-3=0，
综上，当l与⊙C相切时，直线l的方程为x=3或5x+12y-3=0．…（12分）

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及直线与圆相交的性质，涉及的知识有：圆的标准方程，圆的对称性，直线的点斜式方程，以及点到直线的距离公式，利用了分类讨论的思想，当直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，熟练掌握此性质是解本题第二问的关键．