Question

 已知数列 、 满足 ，，。

（I）求证数列为等差数列，并写出数列的通项公式；

（II）若数列的前项和为 ，设 ，求证：。

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（I）由 得  代入 ，

    得 ，整理得 。

∵ ， 否则 ，与  矛盾。

从而得 ，

∵   ∴数列  是首项为1，公差为1的等差数列。

∴，即．--------------------------------------------------------------7分

（II）∵ ，

∴ ＝

＝。

证法1：∵

              ＝

              ＝

∴．--------------------------------------------------------------14分

证法2： ∵ ， ∴，

∴ 。

∴．---------------------------------------------------------------14分

（III）（教师讲评试卷的时候可以选用该小题）

      求证：对任意的有成立．

    用数学归纳法证明：

  ①当时，不等式成立；

②假设当（，）时，不等式成立，即

，那么当时

     ＝

∴当时，不等式成立。

由①②知对任意的,不等式成立．