Question

（08年湖北卷理）(本小题满分14分)

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ,a_n+1=其中λ为实数，n为正整数.

（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{a_n}不是等比数列；

（Ⅱ）试判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；

（Ⅲ）设0＜a＜b,S_n为数列{b_n}的前n项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有

a＜S_n＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）证明；假设存在一个实数，使是等比数列，则有，

即矛盾。

所以不是等比数列。

（2）解：因为

又，所以

当时，些时不是等比数列；

当时，由上可知。

故当时，数列是以为首项，为公比的等比数列。

（3）由（2）知，当时，不满足题目要求。

，故得可得

。

要使对任意正整数成立

即

得．．．．．．①

令，则

当为正奇数时，；当为正偶数时，．

所以的最大值为，的最小值为，

于是，由式①得．

当时，由知，不存在实数满足题目要求；

当时，存在实数，使得对任意正整数，都有，且的取值范围是。

【试题解析】第（1）问问的是证明 “不是等比数列”，这样的问题显然用“反证法”；第（2）正着问，那就顺着推；第（3）问要先求和再解建立不等式。

【高考考点】本题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理能力。

【易错提醒】本题主要是，没有掌握解题的基本方法，再就是没有分类讨论。

【备考提示】对等比数列、等差数列、数求和的知识要熟练掌握，数列中要特别注意递推关系式的结构。