Question

（08年湖北卷理）（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，平面侧面

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）若直线AC与平面A₁BC所成的角为θ,二面角A₁-BC-A的大小为φ的大小关系，并予以证明.

Answer 1

【标准答案】（1）证明：如图，过点在平面内作于，则

由平面侧面，且平面侧面，得平面。又平面，

所以。

因为三棱柱是直三棱柱，

则底面。

所以，又，从而侧面。

又侧面，故.

（2）解法1：连接，则由（1）知是直线与平面所成的角，

是二面角的平面角，即。

于是在中，在中，，

由，得，又所以。

 

 

解法2：由（1）知，以点为坐标原点，以、、所在的直线分轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，

则，

于是，。

设平面的一个法向量为，则

由得

可取，于是与的夹角为锐角，则与互为余角。

所以，，

所以。

于是由，得，

即，又所以。

【试题解析】第（1）问证明线线垂直，一般先证线面垂直，再由线面垂直得线线垂直；第（2）问若用传统方法一般来说要先作垂直，进而得直角三角形。若用向量方法，关键在求法向量。

【高考考点】本题主要考查直棱柱、直线与平面所成的角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力。

【易错提醒】要牢记面面角，线面角的范围，特别是用向量法求二面角的时候要注意所要求的角与向量夹角的关系。

【备考提示】立体几何中的垂直、平行，角与距离是高中数学的重要内容，应该熟练掌握。