题目内容
【题目】已知椭圆
的中心在原点
，焦点在
轴上，离心率为
，右焦点到右顶点的距离为
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）是否存在与椭圆
交于
两点的直线
，使得
成立？若存在，求出实数
的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）存在，
．
【解析】
试题分析：（1）由已知条件推导出
，
，由此能求出椭圆
的标准方程；（2）直线
与椭圆方程联立方程，得到关于
的一元二次方程，由根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数
的取值范围．
试题解析：（1）设椭圆
的方程为
，半焦距为
．依题意，
由右焦点到右顶点的距离为
，得解得
．所以
，所以椭圆的标准方程是．
（2）解：存在直线
，使得
成立．理由如下：
由
得
．
，化简得
．
设
，则
．
若，所以
，
，
，
，
化简得，
，将
代入中，
，
解得
．又由
，
，
从而，
或
，所以实数的取值范围是
．
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【题目】某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按
元/次收费, 并注册成为会员, 对会员逐次消费给予相应优惠，标准如下：
消费次第 | 第 | 第 | 第 | 第 |
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收费比例 |
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该公司从注册的会员中, 随机抽取了
位进行统计, 得到统计数据如下:
消费次第 | 第 | 第 | 第 | 第 | 第 |
频数 |
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假设汽车美容一次, 公司成本为
元, 根据所给数据, 解答下列问题:
（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；
（2）某会员仅消费两次, 求这两次消费中, 公司获得的平均利润；
（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率, 设该公司为一位会员服务的平均利润为
元, 求
的分布列和数学期望
．
