Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n＜a_n+1，设b_n=，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求证：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）若数列{a_n}是公比为q且q≥3的等比数列，则S_n＜1．

Answer 1

证明：（Ⅰ）由题意可知a_n＞0
∵
=
=
=．
又a_n＜a_n+1，∴，，
，
则．
∴；
（Ⅱ）数列{a_n}是首项a₁=1，公比为q且q≥3的等比数列，
∴．
∴．
S_n=b₁+b₂+…+b_n
=
=
=．
∵q≥3，∴．
．
∴．
分析：（Ⅰ）利用作差法证明该不等式，作差后，把b_n=代入，通分后进行因式分解，然后根据a_n＜a_n+1判断差式的符号；
（Ⅱ）写出等比数列{a_n}的通项公式，代入b_n=后整理得到b_n=，利用等比数列求和得到S_n=．由q≥3利用放缩法可证得S_n＜1．
点评：本题是数列和不等式的综合题，训练了作差法证明不等式，考查了数列的递推式及等比数列的前n项和公式，考查了不等式的基本性质，是中档题．