Question

已知四棱锥P-ABCD的正视图是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图1、图2分别是四棱锥P-ABCD的侧视图和俯视图．
（1）求证：AD⊥PC；
（2）求四棱锥P-ABCD的侧面PAB的面积．

Answer 1

分析：（1）根据三视图形状可得侧面PDC⊥平面ABCD，结合矩形ABCD中AD⊥CD，由面面垂直的性质得AD⊥侧面PDC．再根据线面垂直的性质，结合PC?侧面PDC可证出AD⊥PC；
（2）取CD的中点E，连接PE、AE．由三视图的形状并结合面面垂直、线面垂直的性质，算出PA=PB=

13

，最后在△PAB中利用正、余弦定理可算出△PAB的面积，即得侧面PAB的面积．

解答：解：（1）根据三视图，可得侧面PDC⊥平面ABCD
∵AD⊥CD，侧面PDC∩平面ABCD=CD，AD?平面ABCD
∴AD⊥侧面PDC
∵PC?侧面PDC，∴AD⊥PC；
（2）取CD的中点E，连接PE、AE，
∵根据三视图，得△PCD中，PD=PC=3，CD=4
∴PE=

32-22

=

5

Rt△ADE中，AD=DE=2，可得AE=

AD2+DE2

=2

2

∵侧面PDC⊥平面ABCD，侧面PDC∩平面ABCD=CD，
PE?侧面PDC，PE⊥CD
∴PE⊥平面ABCD，结合AE?平面ABCD，可得AE⊥PE
因此，Rt△PAE中，PA=

AE2+PE2

=

13

．同理可得PB=

13

∴△PAB中，cos∠APB=

PA2+PB2-AB2

2PA•PB

=

5

13

由同角三角函数的关系，得sin∠APB=

1-( 5 13 )2

=

12

13

∴S_△PAB=

1

2

PA•PBsin∠APB=

1

2

×

13

×

13

×

12

13

=6
即侧面PAB的面积为6．

点评：本题给出三视图，要求我们证明线线垂直并求侧面三角形的面积，着重考查了三视图求面积和面面垂直、线面垂直的性质定理等知识，属于中档题．