Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且na_n+1=2S_n（n∈N^*）．
（I）证明数列{

an

n

}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（II）数列{b_n}满足b1=

1

2

，b2=

1

4

，对任意n∈N^*，都有

b

2 n+1

=bn•bn+2．若对任意的n∈N^*，不等式2ⁿ⁺¹b_ns_n＜3×2ⁿ⁺¹b_n+λn（n+2）恒成立，试求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）可得（n-1）a_n=2S_n-1（n≥2），与原式相减得na_n+1-（n-1）a_n=2a_n，可得

an+1

n+1

=

an

n

（n≥2），由等比数列的定义可证，进而可得通项；（II）易得数列{b_n}的通项公式bn=

1

2n

，代入原式，不等式可化为λ＞

n2+n-6

n2+2n

对任意的n∈N^*，恒成立，构造f（n）=

n2+n-6

n2+2n

=1-

1

(n+6)+ 24 n+6 -10

，由f（n）的单调性可得范围，进而可得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵na_n+1=2S_n，∴（n-1）a_n=2S_n-1（n≥2），两式相减得na_n+1-（n-1）a_n=2a_n，
∴na_n+1=（n+1）a_n，即

an+1

n+1

=

an

n

（n≥2），由a₁=1，可得a₂=2，
从而对任意 n∈N^*，

an+1

n+1

=

an

n

，又

a1

1

=1≠0，即{

an

n

}是首项公比均为1的数列，
所以

an

n

=1×1^n-1=1，故数列{a_n}的通项公式a_n=n（n∈N^*）．（4分）
（II）在数列{b_n}中，由

b

2 n+1

=bn•bn+2，知数列{b_n}是等比数列，且首项、公比均为

1

2

，
∴数列{b_n}的通项公式bn=

1

2n

（6分）
故原不等式可化为（1-λ）n²+（1-2λ）n-6＜0对任意的n∈N^*，恒成立，
变形可得λ＞

n2+n-6

n2+2n

对任意的n∈N^*，恒成立，
令f（n）=

n2+n-6

n2+2n

=

n2+2n-n-6

n2+2n

=1-

n+6

n2+2n

=1-

1

n2+2n n+6

=1-

1

(n+6)+ 24 n+6 -10

，
由n+6≥7，(n+6)+

24

n+6

-10单调递增且大于0，
∴f（n）单调递增，且当n→+∞时，f（n）→1，且f（n）＜1，故λ≥1
故实数λ的取值范围是[1，+∞）

点评：本题考查等比关系的确定，涉及函数的恒成立问题的应用，属中档题．