Question

（2013•淄博一模）若函数f（x）=

x+1，-1≤x＜0 cosx，0≤x＜ π 2

的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为a，则(x-

a

x2

)⁶ 的展开式中各项系数和为

1

64

（用数字作答）．

Answer 1

分析：求解定积分得到a的值，把a的值代入二项式后，取x=1即可得到(x-

a

x2

)⁶ 的展开式中各项系数和．

解答：解：函数f（x）=

x+1，-1≤x＜0 cosx，0≤x＜ π 2

的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为a，
如图，

∴a=

1

2

×1×1+

∫

π 2 0

cosxdx=

1

2

+sinx

|

π 2 0

=

1

2

+1=

3

2

．
∴(x-

a

x2

)⁶=(x-

3

2x2

)6，
取x=1，得(x-

3

2x2

)6=(1-

3

2

)6=

1

64

．
故答案为：

1

64

．

点评：本题考查了定积分，考查了二项式系数的性质，体现了数学转化思想方法，属中档题．