Question

在△ABC中，角A、B、C的对应边分别为a、b、c，已知复数z₁=3+2sinA•i，z₂=sinA+（1+cosA）i（i是虚数单位），它们对应的向量依次为

OZ1

、

OZ2

，且满足

OZ1

∥

OZ2

，

7

(c-b)=a．
（1）求∠A的值；
（2）求cos(C-

π

6

)的值．

Answer 1

分析：（1）通过向量平行，得到2cos²A+3cosA+1=0，求出cosA的值，即可求∠A的值；
（2）通过

7

(c-b)=a．利用正弦定理转化为角的关系，求出sin(C-

π

6

)=

7

14

，根据角的范围，求cos(C-

π

6

)的值．

解答：解（1）由已知，

OZ1

=(3，2sinA)，

OZ2

=(sinA，1+cosA)，（2分）
∵

OZ1

∥

OZ2

，∴3（1+cosA）-2sin²A=0．
2cos²A+3cosA+1=0，（4分）
cosA=-1（舍去）或cosA=-

1

2

．
∵A∈(0，π)，A=

2π

3

．（6分）

（2）∵

7

(c-b)=a，
∴由正弦定理，得

7

(sinC-sinB)=sinA=

3

2

，（9分）
sinC-sin(

π

3

-C)=

21

14

，

3

sin(C-

π

6

)=

21

14

，sin(C-

π

6

)=

7

14

，（12分）
∵0＜C-

π

6

＜

π

2

，∴cos(C-

π

6

)=

1- 1 28

=

27 28

=

3 21

14

．（14分）

点评：本题利用向量的平行关系，考查三角函数的求值、化简，考查正弦定理的应用，计算能力的考查是三角函数近年高考的特征．