Question

【题目】如图，在直三棱柱中，，，是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）证明线面平行，可以利用线面平行的判定定理，只要证明A1B∥OM可；

（2）（可判断BA，BC，BB1两两垂直，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求得平面AMC1的法向量、直线CC1的阐释，向量，代入向量夹角公式，可求直线CC1与平面AMC1所成角的正弦值；

（1）证明：连接交于,连接.在三角形中，

是三角形的中位线，

所以∥,

又因平面，

所以∥平面.

（2）由ABC-A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，
故BA，BC，BB1两两垂直，如图以所在的直线为轴, 以所在的直线为轴, 以所在的直线为轴，以的长度为单位长度建立空间直角坐标系.

则,,,，,,.设直线与平面所成角为，平面的法向量为.则有,,，

令,得，

设直线与平面所成角为，

则.