Question

设函数定义在上，对于任意实数，恒有

，且当时，

（1）求证： 且当时，

（2）求证： 在上是减函数；

（3）设集合，，且，

 求实数的取值范围。

 

Answer 1

【答案】

（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】（Ⅰ）在证明f(0)=1及x<0,f(x)>1时，要注意利用f(m+n)=f(m)f(n)，根据题目的要求，灵活赋值求证。(II)要注意利用定义。（3）根据前两问的结论，可知,抛物线与直线y=a没有交点求实数a的范围。进而转化为求二次函数的最值问题。

（1）证明：，为任意实数，

取，则有

当时，，，……1分

当时， ，则

取 则 

则 ……4分

（2）证明：由（1）及题设可知，在上

，

…………6分

所以在上是减函数…………9分

（3）解：在集合中

由已知条件，有

，即………11分

在集合中，有

，则抛物线与直线无交点

，，

即的取值范围是…………14分