Question

已知抛物线y^２=-x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点.

(1)求证:OA⊥OB；

(2)当△OAB的面积等于时，求k的值.

Answer 1

(1)证明:如下图，由方程组消去x，并整理得ky^２+y-k=0.

设A(x_１，y_１），Ｂ（x_２，y_２)，由韦达定理y₁·y_２=-1.

∵A、B在抛物线y₂=-x上，

∴y_１^２=-x₁,y_２^２=-x_２，y_１^２·y_２^２=x_１x_２．

∵k_ＯＡ·k_ＯＢ==-1,

∴OA⊥OB.

(2)解:设直线与x轴交于N，又显然k≠0，

∴令y=0,则x=-1，即N(-1,0).

∵S_△OAB=S_△OAN+S_△OBN

=|ON||y₁|+|ON||y₂|

=|ON|·|y₁-y₂|，

∴S_△OAB=·1·.

∵S_△OAB=，∴=.

解之,得k=±.