Question

10．定义：对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（-x）=-f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．
（1）已知二次函数f（x）=ax²+2x-4a（a∈R），试判断f（x）是否为定义域R上的“局部奇函数”？若是，求出满足f（-x）=-f（x）的x的值；若不是，请说明理由；
（2）若f（x）=2^x+m是定义在区间[-1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若f（x）为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；
（2）利用局部奇函数的定义，求出使方程f（-x）=-f（x）有解的实数m的取值范围，可得答案．

解答 解：（1）f（x）为“局部奇函数”等价于关于x的方程f（-x）=-f（x）有解．
当f（x）=ax²+2x-4a（a∈R）时，
方程f（-x）=-f（x）即2a（x²-4）=0，有解x=±2，
所以f（x）为“局部奇函数”．
（2）当f（x）=2^x+m时，f（-x）=-f（x）可化为2^x+2^-x+2m=0，
因为f（x）的定义域为[-1，1]，所以方程2^x+2^-x+2m=0在[-1，1]上有解．
令t=2^x，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，则-2m=t+$\frac{1}{t}$
设g（t）=t+$\frac{1}{t}$，则g'（t）=1-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-1}{{t}^{2}}$，
当t∈（0，1）时，g'（t）＜0，故g（t）在（0，1）上为减函数，
当t∈（1，+∞）时，g'（t）＞0，故g（t）在（1，+∞）上为增函数．
所以t∈[$\frac{1}{2}$，2]时，g（t）∈[2，$\frac{5}{2}$]．
所以-2m∈[2，$\frac{5}{2}$]，即m∈[-$\frac{5}{4}$，-1]．

点评 本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力．