题目内容
（2009•金山区二模）等差数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，公差为2，在等比数列{bn}中，当n≥2时，b2+b3+…+bn=2n+p（p为常数），
（1）求an和Sn；
（2）求b1，p和bn；
（3）若Tn=
对于一切正整数n，均有Tn≤C恒成立，求C的最小值．
（1）求an和Sn；
（2）求b1，p和bn；
（3）若Tn=
| Sn | bn |
分析：（1）根据等差数列的性质，以及数列的通项公式和求和公式，可求出所求；
（2）根据b2+b3+…+bn=2n+p得到b2+b3+…+bn+bn+1=2n+1+p，将两式相减可求出数列{bn}的通项公式以及b1，p；
（3）若Tn=
对于一切正整数n，均有Tn≤C恒成立，则需C大于或等于Tn的最大值，然后研究Tn的单调性可求出最大值，从而求出所求．
（2）根据b2+b3+…+bn=2n+p得到b2+b3+…+bn+bn+1=2n+1+p，将两式相减可求出数列{bn}的通项公式以及b1，p；
（3）若Tn=
| Sn |
| bn |
解答：解：（1）因为等差数列数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，d=2
an=2n，（n∈N*）；Sn=n2+n；…（2分）
（2）由于当n≥2时，b2+b3+…+bn=2n+p（p为常数），
b2+b3+…+bn+bn+1=2n+1+p
两式相减得：bn+1=2n，…（4分）
因为数列{bn}为等比数列，所以b1=1，b2=2，
由条件可得p=-2，bn=2n-1，（n∈N*）；…（7分）
（3）因为Tn=
，若Tn=
对于一切正整数n，均有Tn≤C恒成立，
则需C大于或等于Tn的最大值，…（8分）
=
×
=
，…（10分）
令
≥1得：n≤2，
即有：T1=2≤T2=3=T3=3≥T4=
≥T5=
≥…≥Tn≥…，…（12分）
即数列{Tn}是先增后减的数列，且Tn的极限是0，
故有Tn的最大值为T2=T3=3，…（14分）
又对于一切正整数n，均有Tn≤C恒成立，∴C≥3，即C的最小值为3．…（16分）
an=2n，（n∈N*）；Sn=n2+n；…（2分）
（2）由于当n≥2时，b2+b3+…+bn=2n+p（p为常数），
b2+b3+…+bn+bn+1=2n+1+p
两式相减得：bn+1=2n，…（4分）
因为数列{bn}为等比数列，所以b1=1，b2=2，
由条件可得p=-2，bn=2n-1，（n∈N*）；…（7分）
（3）因为Tn=
| n2+n |
| 2n-1 |
| Sn |
| bn |
则需C大于或等于Tn的最大值，…（8分）
| Tn+1 |
| Tn |
| (n+1)(n+2) |
| 2n |
| 2n-1 |
| n(n+1) |
| n+2 |
| 2n |
令
| Tn+1 |
| Tn |
即有：T1=2≤T2=3=T3=3≥T4=
| 5 |
| 2 |
| 15 |
| 8 |
即数列{Tn}是先增后减的数列，且Tn的极限是0，
故有Tn的最大值为T2=T3=3，…（14分）
又对于一切正整数n，均有Tn≤C恒成立，∴C≥3，即C的最小值为3．…（16分）
点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的综合，以及恒成立问题的应用，属于中档题．
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