Question

设函数f（x）=（x-1）²+blnx，其中b为常数．
（1）当b＞

1

2

时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（2）b≤0时，求f（x）的极值点；
（3）求证：对任意不小于3的正整数n，不等式ln（n+1）-lnn＞

1

n2

都成立．

Answer 1

分析：（1）先由负数没有对数得到f（x）的定义域，求出f（x）的导函数，根据b大于

1

2

得到导函数大于0，所以函数在定义域内单调递增；
（2）令f（x）的导函数等于0，求出此时方程的解即可得到x的值，根据d小于等于0舍去不在定义域范围中的解，得到符合定义域的解，然后利用这个解把（0，+∞）分成两段，讨论导函数的正负得到函数f（x）的增减性，根据f（x）的增减性即可得到函数的唯一极小值为这个解；
（3）令b=-1＜0，代入f（x）的解析式中确定出f（x），并根据（2）把b的值代入求出的唯一极小值中求出值为

1+ 3

2

，得到函数的递减区间为（0，

1+ 3

2

），根据0＜1＜1+

1

n

≤

4

3

＜

1+ 3

2

，利用函数为减函数即可得到函数值f(1)＞f(1+

1

n

)，化简得证．

解答：解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=2x-2+

b

x

=

2x2-2x+b

x

=

2(x- 1 2 )2+b- 1 2

x

(x＞0)．
∴当b＞

1

2

时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；
（2）令f′(x)=2x-2+

b

x

=

2x2-2x+b

x

=0，
得x1=

1

2

-

1-2b

2

，x2=

1

2

+

1-2b

2

．
当b≤0时，x1=

1

2

-

1-2b

2

≤0∉（0，+∞）（舍去），
而x2=

1

2

+

1-2b

2

≥1∈（0，+∞），
此时：f'（x），f（x）随x在定义域上的变化情况如下表：
由此表可知：∵b≤0时，f（x）有惟一极小值点，x2=

1

2

+

1-2b

2

；
（3）由（2）可知当b=-1时，函数f（x）=（x-1）²-lnx，此时f（x）有惟一极小值点：x=

1

2

+

1-2b

2

=

1+ 3

2

，
且x∈(0，

1+ 3

2

)时，f'（x）＜0，f（x）在(0，

1+ 3

2

)为减函数．
∵当n≥3时，0＜1＜1+

1

n

≤

4

3

＜

1+ 3

2

，
∴恒有f(1)＞f(1+

1

n

)，即恒有0＞

1

n2

-ln(1+

1

n

)=

1

n2

-[ln(n+1)-lnn]．
∴当n≥3时，恒有ln(n+1)-lnn＞

1

n2

成立．

点评：此题考查学生会利用导函数的正负判断函数的单调性，并根据函数的单调性得到函数的极值，掌握导数在最值问题中的应用，是一道综合题．学生做题时应注意找出函数的定义域．第三问的突破点是令b=-1，然后利用增减性进行证明．