Question

已知数列{a_n}中，a_n+1=a_n+2n，n∈N^*，a₁=0．
求（1）{a_n}的通项公式；
（2）数列{

1

an+2n

}的前n项和Sn．

Answer 1

分析：（1）由已知可知，a_n+1-a_n=2n，则有a_n-a_n-1=2（n-1）…a₂-a₁=2×1，结合类加法即可求a_n
（2）由（1）可得

1

an+2n

=

1

n

-

1

n+1

，则可得到数列{

1

an+2n

}的前n项和Sn=

n

n+1

．

解答：解：（1）由于在数列{a_n}中，a_n+1=a_n+2n，n∈N^*，a₁=0，
则a_n+1-a_n=2n
故有a_n-a_n-1=2（n-1）
…
a₂-a₁=2×1
a₁=0，
则a_n=2×[（n-1）+（n-2）+…+1]=n（n-1）
故{a_n}的通项公式为 a_n=n（n-1）；
（2）由于

1

an+2n

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

则数列

1

an+2n

的前n项和为
S_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列求解数列的通项公式，数列的裂项相消求解数列的和方法的应用，属于数列知识的综合应用．