Question

6．设递增数列{a_n}满足a₁=0，a₂=$\frac{1}{2}$且a_na_n+1-2a_n+1+1=0（n≥2，n∈N^*）
（1）证明：数列{$\frac{1}{1-{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）设b_n=$\frac{1-\sqrt{{a}_{n+1}}}{\sqrt{n}}$，记数列{b_n}的前n项和为S_n，使不等式S_n≤$\frac{8}{9}$成立的最大正整数n的值．

Answer 1

分析 （1）根据递推关系式a_na_n+1-2a_n+1+1=0，整理变形可得$\frac{1}{1-{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=1，由等差数列的定义可得数列{{$\frac{1}{1-{a}_{n}}$}是等差数列，
（2）根据（1）求出数列{b_n}的通项公式，然后利用累加法求数列{b_n}的前n项和即可．

解答 解：（1）由a_na_n+1-2a_n+1+1=0得1-a_n+1-a_n+1（1-a_n）=0，（n≥2）．
得$\frac{1}{1-{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=1，
当n=1时，$\frac{1}{1-{a}_{2}}-\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}-\frac{1}{1-0}$=2-1=1，满足$\frac{1}{1-{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=1，
∴{$\frac{1}{1-{a}_{n}}$}是首项为1，公差为1的等差数列．
（2）∵{$\frac{1}{1-{a}_{n}}$}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=1+n-1=n，
即1-a_n=$\frac{1}{n}$，a_n=1-$\frac{1}{n}$=$\frac{n-1}{n}$，
则a_n+1=$\frac{n}{n+1}$，
即b_n=$\frac{1-\sqrt{{a}_{n+1}}}{\sqrt{n}}$=$\frac{1-\sqrt{\frac{n}{n+1}}}{\sqrt{n}}$=$\frac{1-\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}}{\sqrt{n}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，
则数列{b_n}的前n项和为S_n=$\frac{1}{1}$$-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$=1-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，
若S_n≤$\frac{8}{9}$成立，
则1-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$≤$\frac{8}{9}$，
即$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$≥\frac{1}{9}$，
即$\sqrt{n+1}$≤9，
则0≤n+1≤81，
解得1≤n≤80，
故使不等式S_n≤$\frac{8}{9}$成立的最大正整数n的值为80．

点评 本题主要考查了等差数列的定义、数列求和问题，考查不等式与数列的综合，考查了学生对基础知识的综合运用，属于中档题．