Question

已知，g（x）=e^x-x²+2ax-1，（x∈R，a为实数），y=f（x）的图象与y轴交于点，且在该点处切线的斜率为-2．
（I）若点，点P是函数y=f（x）图象上一点，Q（x，y）是PA的中点，当，时，求x的值；
（II）当a＞1+ln2时，试问：是否存在曲线y=f（x）与y=g（x）的公切线？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】分析：（I）根据在该点处切线的斜率为-2建立等式关系可求出ω、θ从而求出f（x），利用中点坐标公式建立等式关系，即可求出x的值；
（II）先求出曲线f（x）的切线斜率的取值范围，然后求出曲线y=g（x）的切线斜率的取值范围，看其是否有交集，从而判定是否存在曲线y=f（x）与y=g（x）的公切线．
解答：解：（I）由题意可知可得：
即
设P点坐标为，已知
所以Q（x，y）满足又由得到t=π或
所以或
（II）因为所以曲线f（x）的切线斜率k₁∈[-4，4]
又g′（x）=e^x-2x+2a
∴g″（x）=e^x-2
∴令g″（x）=0可得x=ln2处g′（x）取到最小值g′（ln2）=e^ln2-2ln2+2a＞2-2ln2+2+2ln2=4
所以曲线y=g（x）的切线斜率k₂＞4，故不存在两曲线的共切线．
点评：本题主要考查了利用导数研究在某点处的切线，以及导数的几何意义和公切线问题，属于中档题．