Question

设函数f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a≥-1.求f(x)的单调区间.

Answer 1

解析：由已知得函数f(x)的定义域为(-1,+∞),且f′(x)=(a≥-1),

(1)当-1≤a≤0时,f′(x)<0,函数f(x)在(-1,+∞)上单调递减.

(2)当a>0时,由f′(x)=0,解得x=.

f′(x)\,f(x)随x的变化情况如下表:

x	(-1,)		(,+∞)
f′(x)	-	0	+
f(x)	↘	极小值	↗

从上表可知

当x∈(-1,)时,f′(x)<0,函数f(x)在(-1,)上单调递减.

当x∈(,+∞)时,f′(x)>0,函数f(x)在(,+∞)上单调递增.

综上所述:

当-1≤a≤0时,函数f(x)在(-1,+∞)上单调递减.

当a>0时,函数f(x)在(-1,)上单调递减,函数f(x)在(,+∞)上单调递增.