Question

已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）为单调函数，且f(x)•f[f(x)+

1

x

]=1，则f（1）=（　　）

• A、1
• B、

  1+ 5

  2

  或

  1- 5

  2

• C、

  1+ 5

  2

• D、

  1- 5

  2

Answer 1

分析：由题意设f（1）=t，代入关系式可求出f（t+1），再令x=t+1代入关系式，建立关于t的方程，求出方程的解即t的值．

解答：解：故设f（1）=t，由题意知t≠0，则代入f(x)•f[f(x)+

1

x

]=1得，
f（1）f[f（1）+1]=1，即f（t+1）=

1

t

，
令x=t+1代入f(x)•f[f(x)+

1

x

]=1得，f（t+1）f[f（t+1）+

1

t+1

]=1，
∴f（

1

t

+

1

t+1

）=t=f（1），
∵在（0，+∞）上的函数f（x）为单调函数，
∴

1

t

+

1

t+1

=1，化简得t²-t-1=0，
解得，t=

1+ 5

2

或

1- 5

2

．
故选B．

点评：本题考查了抽象函数求值，由关系式无法确定f（x），故设所要求的函数值代入关系式，逐步赋值后建立方程，求出方程的解，即关键根据关系式灵活给x赋值．