Question

【题目】是坐标原点，椭圆：的左右焦点分别为，，点在椭圆上，若的面积最大时且最大面积为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线：与椭圆在第一象限交于点，点是第四象限内的点且在椭圆上，线段被直线垂直平分，直线与椭圆交于另一点，求证：.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）证明见解析.

【解析】

（1）由的面积最大时且最大面积为求得且，再结合即可求出椭圆的标准方程；（2）易知，设直线：，则直线：，然后分别与联立求出，，再利用斜率公式得出的值即可.

（1）当是椭圆的上顶点或下顶点时的面积最大，设是椭圆的上顶点，

则即，

又，∴，，，

∴椭圆的标准方程为.

（2）依题意点的坐标为，直线不与垂直，设直线：，

即，直线：，即，

设，，

由得，

∴，∴，

则.

又，，

∴，

又，∴，

∴.