题目内容
已知点M（0，1）、A（1，1）、B（0，2），且
．（I）求点P的轨迹方程；
（II）求过Q（1，3）与（1）中轨迹相切的直线方程．
【答案】分析：（I）利用坐标表示向量，利用向量的数量积，可得坐标之间的关系，进而可得点P的轨迹方程；
（II）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得结论．
解答：解：（I）设P（x，y），则
=（x，y-1），
又
=（1，0），
=（0，1），
∴有（x，y-1）=（cosθ，sinθ），
∴
，x2+（y-1）2=1．
（II）当斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意；
当斜率存在时，设直线方程为y-3=k（x-1），即kx-y-k+3=0
∵直线与圆相切，∴
，∴k=
∴切线方程为3x-4y+9=0
综上，所求切线方程为x=1或3x-4y+9=0．
点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
（II）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求得结论．
解答：解：（I）设P（x，y），则
=（x，y-1），又
=（1，0），
=（0，1），
∴有（x，y-1）=（cosθ，sinθ），
∴
，x2+（y-1）2=1．（II）当斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意；
当斜率存在时，设直线方程为y-3=k（x-1），即kx-y-k+3=0
∵直线与圆相切，∴
，∴k=
∴切线方程为3x-4y+9=0
综上，所求切线方程为x=1或3x-4y+9=0．
点评：本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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